5. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектриса угла B делит катет AC в отношении 13:12, считая от точки A. Найдите катет AC, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 13.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру описанной окружности: \(AB=2R=26\).

Пусть биссектриса пересекает AC в точке D. По условию \(AD:DC=13:12\). По теореме о биссектрисе \(AD:DC=AB:BC\), следовательно, \(AB:BC=13:12\). Значит, при \(AB=26\) получаем \(BC=24\).

По теореме Пифагора: \(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{100}=10\).

Ответ: 10.