6. В треугольнике ABC ∠C=60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠BDC=60°, ∠ABD=30°. Докажите, что AD=BC.

1. В треугольнике BDC, ∠C = 60° и ∠BDC = 60°. Следовательно, треугольник BDC равнобедренный с основанием BC, и ∠DBC = 180° - 60° - 60° = 60°. Таким образом, треугольник BDC равносторонний, и BC = BD = CD.
2. В треугольнике ABD, ∠ABD = 30° и ∠A = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 60° - (∠ABD + ∠DBC) = 180° - 60° - (30° + 60°) = 180° - 60° - 90° = 30°.
3. Так как в треугольнике ABD ∠A = ∠ABD = 30°, то треугольник ABD равнобедренный с основанием AD, и AD = BD.
4. Так как BC = BD и AD = BD, то AD = BC. Доказано.