6. В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

DE — средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, она параллельна основанию АС и равна половине основания: \( DE = \frac{1}{2} AC \).

Средняя линия DE отсекает от треугольника АВС подобный треугольник CDE. Коэффициент подобия \( k \) треугольников CDE и АВС равен отношению их соответствующих сторон:

\( k = \frac{DE}{AC} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).

Дано, что площадь треугольника CDE равна 9:

\( S_{CDE} = 9 \).

Подставляем известные значения:

\( \frac{9}{S_{ABC}} = \frac{1}{4} \).

Найдём площадь треугольника АВС:

\( S_{ABC} = 9 \cdot 4 = 36 \).

Ответ: 36