6. В треугольнике ABC со сторонами AB = 3, AC = 7 провели биссектрису AL. Точка P на стороне AC такова, что AP : CP = 2 : 5. Отрезки BP и AL пересекаются в точке O. а) Найдите отношение BO : OP. б) Найдите отношение AO : OL.

По теореме о биссектрисе в треугольнике ABC: BL : LC = AB : AC = 3 : 7.

а) Рассмотрим площади треугольников ABP и BPC. У них общая высота, опущенная из B на AC, поэтому их площади относятся как AP : PC = 2 : 5. Поскольку O лежит на BP, отношение площадей треугольников ABO и BCO равно AO : OC, а можно также использовать координатное деление: P делит AC в отношении 2 : 5, а L делит BC в отношении 3 : 7. Для точки пересечения BP и AL получаются массы в вершинах A, B, C, пропорциональные 15, 14, 6. На отрезке BP это даёт BO : OP = 3 : 2.

б) На отрезке AL массы у A и L соответственно равны 15 и 14 + 6 = 20. Поэтому AO : OL = 20 : 15 = 4 : 3.

Ответ: а) BO : OP = 3 : 2; б) AO : OL = 4 : 3.