7. В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла A пересекается с биссектрисой угла C в точке F, а также пересекает сторону CD в точке K. Оказалось, что прямые AB и CF параллельны. Найдите длину отрезка CF, если CK = 4.

Обозначим горизонтальную проекцию каждой боковой стороны на большее основание через x, высоту трапеции — через h, а длину AD — через d. Выберем координаты A(0; 0), D(d; 0), B(x; h), C(d − x; h). Пусть длина боковой стороны равна s = √(x² + h²).

Угол между AB и AD обозначим через α. Поскольку AB ∥ CF, а CF — биссектриса угла C, угол между BC и CD равен 2α. Для боковой стороны с горизонтальной проекцией x это означает cos α = x/s и cos 2α = −x/s. По формуле cos 2α = 2cos² α − 1 получаем 2(x/s)² − 1 = −x/s. Положив u = x/s, имеем 2u² + u − 1 = 0; из допустимых значений 0 < u < 1 следует u = 1/2. Значит, s = 2x и h = √3x.

Биссектриса угла A тогда имеет направление (3; √3), то есть её уравнение y = X/√3, где X — горизонтальная координата.

Точка K лежит на CD. Запишем её как K = (d − xt; √3xt), где 0 ≤ t ≤ 1. Подстановка в уравнение биссектрисы A даёт √3xt = (d − xt)/√3, откуда t = d/(4x). Поэтому CK = s(1 − t) = 2x(1 − d/(4x)) = (4x − d)/2.

Биссектриса угла C имеет направление (−1; −√3). Пересечение этой биссектрисы с биссектрисой угла A даёт CF = 4x − d. Следовательно, CF = 2CK.

Подставляем CK = 4: CF = 2 · 4 = 8.

Ответ: CF = 8.