6. В треугольнике АВС угол C равен 90°, \( \sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5} \), AC = 17. Найдите ВС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла A определяется как отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB.

1. Используем формулу: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
2. Найдем косинус угла A, используя основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \).
3. \( \cos^2 A = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \).
4. Так как угол A острый, \( \cos A > 0 \). Следовательно, \( \cos A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \).
5. В прямоугольном треугольнике косинус угла A также определяется как отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB: \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
6. \( \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{17}{AB} \).
7. Выразим AB: \( AB = \frac{17 \cdot 5}{\sqrt{5}} = 17\sqrt{5} \).
8. Теперь найдем BC, используя синус угла A: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
9. \( \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{BC}{17\sqrt{5}} \).
10. Выразим BC: \( BC = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot 17\sqrt{5} = \frac{2 \cdot 17 \cdot 5}{5} = 2 \cdot 17 = 34 \).

Ответ: \( 34 \).