6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= x²+5, y=0, x= 1, x= -2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y=f(x) \) и осью \( Ox \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется по формуле определённого интеграла: \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \).

В данном случае \( f(x) = x^2+5 \), \( a = -2 \), \( b = 1 \). Так как \( x^2+5 \) всегда положительно (минимальное значение при \( x=0 \), \( y=5 \)), то \( |x^2+5| = x^2+5 \).

1. Вычислим определённый интеграл:
   \( S = \int_{-2}^{1} (x^2+5) dx \)
2. Найдём первообразную:
   \( \int (x^2+5) dx = \frac{x^3}{3} + 5x \)
3. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
   \( S = \left[ \frac{x^3}{3} + 5x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 5(1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 5(-2) \right) \)
   \( S = \left( \frac{1}{3} + 5 \right) - \left( \frac{-8}{3} - 10 \right) \)
   \( S = \frac{1}{3} + 5 + \frac{8}{3} + 10 \)
   \( S = \left( \frac{1}{3} + \frac{8}{3} \right) + (5+10) \)
   \( S = \frac{9}{3} + 15 \)
   \( S = 3 + 15 = 18 \).

Ответ: 18.