6. Вычислите $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^3-8}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Вычислите $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^3-8}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Рационализируем числитель, умножив дробь на сопряжённое выражение:

\[\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^3-8}\cdot\frac{\sqrt{4x+1}+3}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{4x+1-9}{(x^3-8)(\sqrt{4x+1}+3)}.\]

Разложим на множители и сократим:

\[\frac{4(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)(\sqrt{4x+1}+3)}=\frac{4}{(x^2+2x+4)(\sqrt{4x+1}+3)}.\]

Подставляем $x=2$:

\[\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^3-8}=\frac{4}{(4+4+4)(3+3)}=\frac{1}{18}.\]

Ответ: $\frac{1}{18}$.

6. Вычислите \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^3-8}\).