7. Вычислите $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x-1}\right)^{3-2x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. Вычислите $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x-1}\right)^{3-2x}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Представим основание в виде единицы плюс дробь:

\[\left(\frac{x}{x-1}\right)^{3-2x}=\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{3-2x}.\]

Положим $t=x-1$. Тогда $t\to\infty$, а показатель равен $1-2t$. Выделим стандартный предел:

\[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{1-2t}=\left(1+\frac{1}{t}\right)\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{-2}\longrightarrow 1\cdot e^{-2}.\]

Ответ: $e^{-2}$.

7. Вычислите \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x-1}\right)^{3-2x}\).