6. Вычислите $$\frac{125^2 \cdot 5^6}{25^4}$$.

Решение:

Для вычисления значения выражения приведём все основания степеней к одному основанию. Заметим, что \( 125 = 5^3 \) и \( 25 = 5^2 \).

1. Заменим основания в числителе и знаменателе:
   \[ \frac{(5^3)^2 \cdot 5^6}{(5^2)^4} \]
2. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
   \[ \frac{5^{3 \cdot 2} \cdot 5^6}{5^{2 \cdot 4}} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^8} \]
3. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе:
   \[ \frac{5^{6+6}}{5^8} = \frac{5^{12}}{5^8} \]
4. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \[ 5^{12-8} = 5^4 \]
5. Вычислим окончательное значение:
   \[ 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625 \]

Ответ: 625.