6. Выполните деление: $$\frac{3x+6y}{x^2-y^2} : \frac{5x+10y}{x^2-2xy+y^2}$$.

Решение:

1. Чтобы выполнить деление дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
2. Разложим на множители числители и знаменатели всех дробей.
• Первый числитель: \( 3x+6y = 3(x+2y) \).
• Первый знаменатель: \( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \) (разность квадратов).
• Второй числитель: \( 5x+10y = 5(x+2y) \).
• Второй знаменатель: \( x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2 = (x-y)(x-y) \) (квадрат разности).
3. Запишем деление как умножение на обратную дробь: \[ \frac{3(x+2y)}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x-y)}{5(x+2y)} \]
4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общие множители: \( 3 \) и \( 5 \), \( (x+2y) \), \( (x-y) \).
5. Сокращаем \( 3 \) и \( 5 \), \( (x+2y) \) и \( (x-y) \): \[ \frac{\cancel{3}(\cancel{x+2y})}{(\cancel{x-y})(x+y)} \cdot \frac{(\cancel{x-y})(x-y)}{5(\cancel{x+2y})} = \frac{1 \cdot (x-y)}{ (x+y) \cdot 5} \]
6. Упростим: \[ \frac{x-y}{5(x+y)} \]

Ответ: $$\frac{x-y}{5(x+y)}$$.