6. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Поскольку BM — высота к прямой AD, угол между BM и AD равен 90°. Угол между AB и BM равен 30°, поэтому угол BAD равен 90° − 30° = 60°.

Диагональ AC ромба делит угол A пополам, значит, ∠BAC = 30°. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) углы при A и C равны, поэтому ∠BCA = 30°. Тогда AC = AB · √3, откуда AB = 6 / √3 = 2√3 см.

В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 30°, а AB — гипотенуза. Следовательно, AM = AB · sin 30° = 2√3 · 1/2 = √3 см.

Ответ: √3 см.