6. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 10 и 11. Найдите длину основания ВС.

Решение:

Пусть высота, проведенная из вершины С, падает на основание AD в точке H. В равнобедренной трапеции основания параллельны, а боковые стороны равны. Высота, опущенная из вершины угла при одном из оснований на другое основание, делит его на два отрезка. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершины тупого угла на большее основание, то отрезок от вершины на большем основании до проекции вершины другого основания будет равен полусумме оснований, а отрезок от проекции вершины до конца большего основания будет равен полуразности оснований.

В данном случае, высота проведена из вершины С. На рисунке видно, что AD — большее основание, BC — меньшее. Пусть CH — высота, где H принадлежит AD.

Точка H делит основание AD на отрезки AH и HD. У нас два варианта:

1. AH = 10, HD = 11. Тогда AD = 10 + 11 = 21.
2. AH = 11, HD = 10. Тогда AD = 11 + 10 = 21.

В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из вершин меньшего основания (B и C) на большее основание (AD), то большее основание разделится на три отрезка: x, a, x, где 'a' - длина меньшего основания, а 'x' - часть большего основания, которая равна полуразности оснований. В нашем случае, если мы проведем высоту из B на AD (обозначим точку пересечения K), то AK = HD. Тогда AD = AK + KH + HD = x + BC + x = 2x + BC.

Из рисунка видно, что высота проведена из С, и она делит основание AD на отрезки. Если предположить, что C — вершина при меньшем основании BC, то высота CH делит основание AD. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из С, то точка H на AD. Отрезок HD равен разности между большим и меньшим основанием, деленной на 2. То есть, HD = (AD - BC) / 2. И AH = AD - HD = AD - (AD - BC) / 2 = (AD + BC) / 2.

У нас есть два отрезка: 10 и 11. Если HD = 10, то AH = 11. Тогда AD = 21.

(AD + BC) / 2 = 11 => (21 + BC) / 2 = 11 => 21 + BC = 22 => BC = 1.

Проверим: (AD - BC) / 2 = (21 - 1) / 2 = 20 / 2 = 10. Это совпадает с HD = 10.

Если HD = 11, то AH = 10. Тогда AD = 21.

(AD + BC) / 2 = 10 => (21 + BC) / 2 = 10 => 21 + BC = 20 => BC = -1. Это невозможно.

Следовательно, длина меньшего основания ВС равна 1.

Ответ: 1