6) x - 2 = ∘∑⁴x²-8;

Решение:

Данное уравнение содержит кубический корень. Чтобы решить его, необходимо возвести обе части уравнения в куб.

• Возводим обе части в куб:

\[ (x - 2)^3 = x^2 - 8 \]

• Раскрываем скобки в левой части по формуле куба разности: (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

\[ x^3 - 3x^2(2) + 3x(2^2) - 2^3 = x^2 - 8 \]

\[ x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = x^2 - 8 \]

• Переносим все члены уравнения в одну сторону:

\[ x^3 - 6x^2 - x^2 + 12x - 8 + 8 = 0 \]

• Упрощаем:

\[ x^3 - 7x^2 + 12x = 0 \]

• Выносим общий множитель x за скобки:

\[ x(x^2 - 7x + 12) = 0 \]

• Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
• Первый случай: x = 0.
• Второй случай: x² - 7x + 12 = 0. Решаем квадратное уравнение.
• По теореме Виета:
• Сумма корней = 7
• Произведение корней = 12
• Подходящие числа: 3 и 4.
• Проверка:
• Для x = 0: 0 - 2 = ∘∑⁴0²-8 => -2 = ∘∑⁴-8. Кубический корень из -8 равен -2. Условие выполняется.
• Для x = 3: 3 - 2 = ∘∑⁴3²-8 => 1 = ∘∑⁴9-8 => 1 = ∘∑⁴1. Кубический корень из 1 равен 1. Условие выполняется.
• Для x = 4: 4 - 2 = ∘∑⁴4²-8 => 2 = ∘∑⁴16-8 => 2 = ∘∑⁴8. Кубический корень из 8 равен 2. Условие выполняется.

Ответ: x = 0, x = 3, x = 4