6) y = -4/x + √x - siny

Решение:

Найдем производную функции \( y = -\frac{4}{x} + \sqrt{x} - \sin(y) \). По аналогии с предыдущими примерами, \( y \) в \( \sin(y) \) рассматривается как константа, так как \( y \) является функцией от \( x \).

1. Перепишем \( -\frac{4}{x} \) как \( -4x^{-1} \) и \( \sqrt{x} \) как \( x^{\frac{1}{2}} \).
2. Производная от \( -4x^{-1} \) равна \( -4 \cdot (-1)x^{-1-1} = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2} \).
3. Производная от \( x^{\frac{1}{2}} \) равна \( \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
4. Производная от \( \sin(y) \) равна \( 0 \), так как \( y \) считается константой.

Собираем все вместе:

\[ y' = \frac{4}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]