6. Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой.

Решение:

1. Шаг 1: Пусть задуманное число состоит из цифр \( a \) (десятки) и \( b \) (единицы). Тогда само число можно записать как \( 10a + b \).
   По условию, вторая цифра на 2 больше первой: \( b = a + 2 \).
2. Шаг 2: Число, полученное при перестановке цифр, будет \( 10b + a \).
3. Шаг 3: Сумма квадратов этих чисел равна 1130:
   \( (10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 1130 \)
4. Шаг 4: Подставим \( b = a + 2 \) в уравнение:
   \( (10a + (a+2))^2 + (10(a+2) + a)^2 = 1130 \)
   \( (11a + 2)^2 + (10a + 20 + a)^2 = 1130 \)
   \( (11a + 2)^2 + (11a + 20)^2 = 1130 \)
5. Шаг 5: Раскроем скобки:
   \( (121a^2 + 44a + 4) + (121a^2 + 440a + 400) = 1130 \)
6. Шаг 6: Приведем подобные слагаемые:
   \( 242a^2 + 484a + 404 = 1130 \)
7. Шаг 7: Перенесем 1130 в левую часть:
   \( 242a^2 + 484a + 404 - 1130 = 0 \)
   \( 242a^2 + 484a - 726 = 0 \)
8. Шаг 8: Разделим все уравнение на 242 (заметим, что 484 = 2*242 и 726 = 3*242):
   \( a^2 + 2a - 3 = 0 \)
9. Шаг 9: Решим полученное квадратное уравнение для \( a \). Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \( a_1 + a_2 = -2 \) и \( a_1 \cdot a_2 = -3 \). Корни: \( a_1 = 1, a_2 = -3 \).
   Так как \( a \) — цифра двузначного числа, она должна быть натуральным числом от 1 до 9. Поэтому \( a = 1 \).
10. Шаг 10: Найдем \( b \):
    \( b = a + 2 = 1 + 2 = 3 \)
11. Шаг 11: Задуманное число — \( 10a + b = 10 \cdot 1 + 3 = 13 \).
    Проверим: число с переставленными цифрами — 31.
    \( 13^2 + 31^2 = 169 + 961 = 1130 \). Условие выполнено.

Ответ: 13