6. Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Обозначим первую цифру задуманного числа как 'x'. Тогда вторая цифра будет 'x + 2'.
• Шаг 2: Задуманное число можно представить как 10x + (x + 2). Число, полученное перестановкой цифр, будет 10(x + 2) + x.
• Шаг 3: Составим уравнение по условию:
  \( (10x + x + 2)^2 + (10(x + 2) + x)^2 = 1130 \)
  \( (11x + 2)^2 + (10x + 20 + x)^2 = 1130 \)
  \( (11x + 2)^2 + (11x + 20)^2 = 1130 \)
• Шаг 4: Раскроем скобки и упростим:
  \( (121x^2 + 44x + 4) + (121x^2 + 440x + 400) = 1130 \)
  \( 242x^2 + 484x + 404 = 1130 \)
  \( 242x^2 + 484x - 726 = 0 \)
• Шаг 5: Разделим всё на 242:
  \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
• Шаг 6: Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
  \( x_1 + x_2 = -2 \)
  \( x_1 \cdot x_2 = -3 \)
  Корни: x = 1 и x = -3.
• Шаг 7: Так как 'x' — это цифра двузначного числа, она должна быть натуральной. Поэтому выбираем x = 1.
• Шаг 8: Находим вторую цифру:
  \( x + 2 = 1 + 2 = 3 \)
• Шаг 9: Задуманное число: 13. Проверим:
  Число: 13. Переставленное число: 31.
  \( 13^2 + 31^2 = 169 + 961 = 1130 \). Условие выполняется.

Ответ: 13