60. Найдите величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если:

Решение:

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Два пары вертикальных углов (вертикальные углы равны) и четыре пары смежных углов (сумма смежных углов равна 180°). Всего образуется два различных значения углов.

1) сумма двух из них равна 98°

Если сумма двух углов равна 98°, то эти углы являются смежными (так как вертикальные углы равны, их сумма будет 2x, а 98 не делится на 2 без остатка, что означало бы равенство углов, и сумма была бы 180°).

Пусть один угол \( x \), другой \( y \). \( x + y = 180 \) (смежные).

В условии дано, что сумма двух углов равна 98°. Эти два угла не могут быть смежными, так как их сумма была бы 180°. Значит, это два смежных угла, которые в сумме дают 98°.

Возможны два случая:

1. Два смежных угла в сумме дают 98°. Это невозможно, так как сумма смежных углов равна 180°.
2. Два угла, не являющиеся смежными, в сумме дают 98°.

Рассмотрим случай, когда два угла, образующихся при пересечении двух прямых, в сумме дают 98°.

При пересечении двух прямых образуются 4 угла: \( α, β, α, β \), где \( α \) и \( β \) — смежные углы, \( α + β = 180° \).

Случай 1: Сумма двух равных углов равна 98°. \( α + α = 98° \) → \( 2α = 98° \) → \( α = 49° \). Тогда \( β = 180° - 49° = 131° \). Углы: 49°, 131°, 49°, 131°.

Случай 2: Сумма двух смежных углов равна 98°. \( α + β = 98 \). Но мы знаем, что \( α + β = 180 \). Этот случай невозможен.

Случай 3: Сумма двух разных углов, один из которых не является смежным другому, равна 98°. Это означает, что \( α + β = 98 \), что противоречит \( α + β = 180 \).

Случай 4: Сумма двух смежных углов равна 98°. Это невозможно.

Случай 5: Сумма двух углов, которые являются вертикальными, равна 98°. Это значит, что \( α + α = 98° \) → \( 2α = 98° \) → \( α = 49° \). Тогда второй угол \( β = 180° - 49° = 131° \). Углы: 49°, 131°, 49°, 131°.

Ответ: 49°, 131°, 49°, 131°.

2) разность двух из них равна 58°

Пусть один угол равен \( x \), другой \( y \). \( x + y = 180° \).

Разность углов равна 58°. Возможны два варианта:

Вариант 1: \( x - y = 58 \). Решая систему уравнений:

\( x + y = 180 \)

\( x - y = 58 \)

Складывая уравнения: \( 2x = 238 \) → \( x = 119 \). Тогда \( y = 180 - 119 = 61 \).

Вариант 2: \( y - x = 58 \). Это тот же случай, просто названия углов поменялись.

Углы: 119°, 61°, 119°, 61°.

Ответ: 119°, 61°, 119°, 61°.

3) все углы равны между собой

Если все четыре угла равны, то каждый угол равен \( \frac{360°}{4} = 90° \).

Ответ: 90°, 90°, 90°, 90°.

4) сумма трех из них равна 286°

Пусть углы равны \( α, β, α, β \), где \( α + β = 180° \).

Возможны два случая:

Случай 1: \( α + β + α = 286° \) → \( 2α + β = 286° \).

Подставим \( β = 180° - α \):

\( 2α + (180° - α) = 286° \)

\( α + 180° = 286° \)

\( α = 286° - 180° = 106° \).

Тогда \( β = 180° - 106° = 74° \).

Углы: 106°, 74°, 106°, 74°.

Проверка: \( 106 + 74 + 106 = 286 \). Верно.

Случай 2: \( α + β + β = 286° \) → \( α + 2β = 286° \).

Подставим \( α = 180° - β \):

\( (180° - β) + 2β = 286° \)

\( 180° + β = 286° \)

\( β = 286° - 180° = 106° \).

Тогда \( α = 180° - 106° = 74° \).

Углы: 74°, 106°, 74°, 106°.

Проверка: \( 74 + 106 + 106 = 286 \). Верно.

Ответ: 106°, 74°, 106°, 74°.