65. Докажите, что число √2 + √7 не является рациональным.

Предположим противное: \(\sqrt2+\sqrt7=r\), где \(r\) — рациональное число.

Возведём равенство в квадрат: \(r^2=2+7+2\sqrt{14}=9+2\sqrt{14}\).

Тогда \(\sqrt{14}=\frac{r^2-9}{2}\) было бы рациональным. Но \(\sqrt{14}\) иррационально, поскольку 14 не является квадратом целого числа. Получили противоречие.

Следовательно, \(\sqrt2+\sqrt7\) — иррациональное число.