66. Сравните числа: а) √7 + √2 и √6 + √3; б) √12 − √13 и √2 − √3; в) √17 + √11 и √18 + √10; г) √13 − √21 и √14 − √22.

1. а) Сравним квадраты положительных чисел: \((\sqrt7+\sqrt2)^2=9+2\sqrt{14}\), а \((\sqrt6+\sqrt3)^2=9+2\sqrt{18}\). Поскольку \(\sqrt{14}<\sqrt{18}\), то \(\sqrt7+\sqrt2<\sqrt6+\sqrt3\).
2. б) Рационализуем разности: \(\sqrt{12}-\sqrt{13}=-\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{13}}\), \(\sqrt2-\sqrt3=-\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\). Поскольку \(\sqrt{12}+\sqrt{13}>\sqrt2+\sqrt3\), первая дробь с минусом ближе к нулю: \(\sqrt{12}-\sqrt{13}>\sqrt2-\sqrt3\).
3. в) Квадраты сумм равны \((\sqrt{17}+\sqrt{11})^2=28+2\sqrt{187}\) и \((\sqrt{18}+\sqrt{10})^2=28+2\sqrt{180}\). Так как \(\sqrt{187}>\sqrt{180}\), то \(\sqrt{17}+\sqrt{11}>\sqrt{18}+\sqrt{10}\).
4. г) Рационализуем разности: \(\sqrt{13}-\sqrt{21}=-\dfrac{8}{\sqrt{13}+\sqrt{21}}\), \(\sqrt{14}-\sqrt{22}=-\dfrac{8}{\sqrt{14}+\sqrt{22}}\). Второй знаменатель больше первого, поэтому вторая разность больше: \(\sqrt{13}-\sqrt{21}<\sqrt{14}-\sqrt{22}\).

Ответ: а) √7 + √2 < √6 + √3; б) √12 − √13 > √2 − √3; в) √17 + √11 > √18 + √10; г) √13 − √21 < √14 − √22.