67. Найдите значения выражений: а) √(16 − 6√7) + √7 + 5; б) √(177 − 8√11) − (8 + 4√11); в) √(6 − 2√5) − 12 − √5; г) √(8 − 2√15) + √3 − √5 + 8.

1. а) Подкоренное выражение представим как квадрат: \(16-6\sqrt7=(\sqrt7-3)^2\). Поэтому \(\sqrt{16-6\sqrt7}=\sqrt7-3\), и \((\sqrt7-3)+\sqrt7+5=2\sqrt7+2\).
2. б) \(177-8\sqrt{11}=(4\sqrt{11}-1)^2\), поэтому корень равен \(4\sqrt{11}-1\). Тогда \((4\sqrt{11}-1)-(8+4\sqrt{11})=-9\).
3. в) \(6-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2\), поэтому \(\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1\). Тогда \((\sqrt5-1)-12-\sqrt5=-13\).
4. г) \(8-2\sqrt{15}=(\sqrt5-\sqrt3)^2\), причём \(\sqrt5>\sqrt3\). Следовательно, \(\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt5-\sqrt3\), и \((\sqrt5-\sqrt3)+\sqrt3-\sqrt5+8=8\).

Ответ: а) 2√7 + 2; б) −9; в) −13; г) 8.