66. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 22.

Так как \(AB=BC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), поэтому \(\angle BAC=\angle ACB=75^\circ\). Следовательно, \(\angle ABC=30^\circ\).

Из \(AX=BX\) треугольник \(ABX\) равнобедренный. Поскольку \(X\in BC\), \(\angle ABX=\angle ABC=30^\circ\), значит \(\angle BAX=30^\circ\).

По условию \(\angle YAX=\angle BAX=30^\circ\), поэтому \(\angle BAY=60^\circ\). Кроме того, \(Y\in BC\), значит \(\angle ABY=30^\circ\). Тогда \(\angle AYB=90^\circ\).

В треугольнике \(ABX\): \(AX=BX=22\), а угол при \(B\) равен \(30^\circ\). Поэтому \(AB=2AX=44\).

В прямоугольном треугольнике \(ABY\) гипотенуза \(AB=44\), а угол \(BAY=60^\circ\). Следовательно,

\[AY=AB\cos60^\circ=44\cdot\frac12=22.\]

Ответ: 22.