67. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 7.

Пусть \(AB=CD=7\), а \(AD=BC=x\). Так как \(AM\) — биссектриса угла \(A=60^\circ\), то \(\angle BAM=30^\circ\). Поскольку \(M\in BC\), имеем \(BM\parallel AD\), поэтому \(\angle ABM=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

В треугольнике \(ABM\): \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=120^\circ\), значит \(\angle M=30^\circ\). Следовательно, \(AB=BM=7\).

Так как \(AM\perp DM\), треугольник \(ADM\) прямоугольный при \(M\). Угол между \(AD\) и \(AM\) равен \(60^\circ-30^\circ=30^\circ\), поэтому в прямоугольном треугольнике \(ADM\) сторона \(AD\) вдвое больше \(DM\). Но \(DM=AB=7\), значит \(AD=14\).

Периметр:

\[P=2(AB+AD)=2(7+14)=42.\]

Ответ: 42.