66. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 22.

Из условия \(AX=BX=22\), поэтому треугольник \(ABX\) равнобедренный и \(\angle BAX=\angle ABX\). По условию \(\angle BAX=\angle YAX\), следовательно, \(\angle ABX=\angle YAX\).

Так как точки \(B,X,Y\) лежат на одной прямой, то \(\angle AXB=\angle AXY\) — смежные углы. Значит, треугольники \(ABX\) и \(YAX\) подобны. При этом сторона \(BX\) соответствует \(AX\), а они равны, поэтому коэффициент подобия равен \(1\). Следовательно, \(AY=AB\).

В исходном равнобедренном треугольнике \(ABC\) имеем \(AB=BC\). Для точек, расположенных в указанном порядке, из равенства \(AX=BX\) и углов следует \(AY=AX+BX=22+22=44\) см.

Ответ: 44 см.