670. Через точку A проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что AB² = AP · AQ.

Проведём хорды BP и BQ. Угол ABP между касательной AB и хордой BP равен вписанному углу BQP, опирающемуся на хорду BP. Поскольку A, P и Q лежат на одной прямой, ∠BQP = ∠BQA. Поэтому ∠ABP = ∠BQA.

Кроме того, ∠BAP = ∠BAQ, поскольку AP и AQ лежат на одной прямой. Следовательно, треугольники ABP и AQB подобны. Из соответствия сторон получаем AB/AP = AQ/AB, откуда AB² = AP · AQ.