698. Ось Ох системы координат совпадает с главной оптической осью тонкой линзы. Координаты точечного источника света (20, 18), а его изображения в линзе — (35, 6). Определите, какая это линза, какое изображение получено в линзе.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Дано:
   
   • Координаты источника света (предмета): \( (x_1, y_1) = (20, 18) \). \( x_1 = 20 \) (расстояние предмета от линзы), \( y_1 = 18 \) (высота предмета).
   • Координаты изображения: \( (x_2, y_2) = (35, 6) \). \( x_2 = 35 \) (расстояние изображения от линзы), \( y_2 = 6 \) (высота изображения).
2. Определение типа линзы:
   Так как источник света (предмет) находится на расстоянии \( x_1 = 20 \) от линзы, а изображение формируется на расстоянии \( x_2 = 35 \), и оба расстояния положительные, это указывает на то, что свет проходит через линзу и формирует изображение на противоположной стороне. Для формирования действительного изображения на противоположной стороне от предмета, линза должна быть собирающей.
3. Определение характера изображения:
   
   • Действительное или мнимое: Изображение формируется на расстоянии \( x_2 = 35 \) от линзы, что является положительным расстоянием. Для действительного изображения, лучи сходятся после прохождения через линзу. В данном случае, \( x_2 > x_1 \), что типично для собирающей линзы, формирующей действительное изображение.
   • Прямое или перевернутое: Высота предмета \( y_1 = 18 \) (положительная, т.е. направлена вверх). Высота изображения \( y_2 = 6 \) (также положительная, т.е. направлена вверх). Поскольку высоты имеют одинаковый знак, изображение прямое.
   • Увеличенное или уменьшенное: Высота изображения \( y_2 = 6 \) меньше высоты предмета \( y_1 = 18 \). Следовательно, изображение уменьшенное.
4. Расчет увеличения (Г):
   \( ext{Г} = rac{y_2}{y_1} = rac{6}{18} = rac{1}{3} \)
5. Проверка по расстояниям (для действительного изображения, Г = -f/d):
   \( ext{Г} = rac{x_2}{x_1} = rac{35}{20} = rac{7}{4} = 1.75 \) (здесь мы берем абсолютные значения расстояний, так как увеличение по высоте уже показало, что изображение прямое).
6. Анализ расхождений: Увеличение по высоте (1/3) и по расстоянию (1.75) не совпадают. Для действительного изображения, увеличение \( ext{Г} = -rac{f}{d} \). Если \( y_2 \) и \( y_1 \) имеют одинаковый знак, изображение прямое. В данной задаче \( y_1=18 \) и \( y_2=6 \), оба положительные, значит изображение прямое. Это противоречит обычной ситуации для действительного изображения, которое должно быть перевернутым.
7. Пересмотр: Возможно, заданные координаты y относятся не к высоте, а к положению в плоскости, перпендикулярной оптической оси, и знак не несет информации о перевернутости. Однако, если \( x_1 \) и \( x_2 \) положительны, то это действительное изображение.
8. Если допустить, что линза собирающая и формирует действительное изображение:
   Увеличение \( ext{Г} = rac{y_2}{y_1} = rac{6}{18} = rac{1}{3} \).
   Также \( ext{Г} = rac{f}{d} = rac{x_2}{x_1} \).
   \( rac{1}{3} = rac{35}{20} \) - это неверно.
9. Возможно, изображение мнимое. Если бы изображение было мнимым, оно было бы прямым и могло быть как увеличенным, так и уменьшенным. Для мнимого изображения \( x_2 \) было бы отрицательным.
10. Переинтерпретация: Давайте предположим, что \( x_1 \) и \( x_2 \) - это расстояния от оптического центра. \( y_1 \) и \( y_2 \) - высоты.
11. Линза: Так как \( x_1=20 \) и \( x_2=35 \), и оба положительны, это говорит о том, что свет прошел через линзу и сформировал изображение. В случае собирающей линзы, предмет на расстоянии \( d > F \) дает действительное изображение. Если \( d < F \), то мнимое.
12. Характер изображения:
    
    • Проверим, является ли оно действительным: Если бы оно было действительным, то \( ext{Г} = - rac{x_2}{x_1} = - rac{35}{20} = -1.75 \). Тогда \( y_2 = ext{Г} imes y_1 = -1.75 imes 18 = -31.5 \). Но \( y_2 = 6 \). Это не совпадает.
    • Проверим, является ли оно мнимым: Если бы изображение было мнимым, то \( x_2 \) было бы отрицательным. Но \( x_2 = 35 \), что положительно.
    • Возможно, ошибка в постановке задачи или интерпретации координат. Однако, если исходить из того, что \( x_1 \) и \( x_2 \) положительны, то линза собирающая.
    • Если допустить, что линза собирающая и изображение действительное, но прямое (что нетипично, но возможно при определенных условиях или если мы говорим о проекции):
      \( ext{Г} = rac{y_2}{y_1} = rac{6}{18} = rac{1}{3} \).
    • Если изображение мнимое и прямое:
      \( ext{Г} = rac{y_2}{y_1} = rac{6}{18} = rac{1}{3} \).
      \( ext{Г} = rac{f}{d} \) (для мнимого изображения). \( rac{1}{3} = rac{f}{20} \) \( f = rac{20}{3} hickapprox 6.67 \).
      Формула тонкой линзы для мнимого изображения: \( rac{1}{f} = rac{1}{d} - rac{1}{f_{мнимое}} \). Или \( rac{1}{F} = rac{1}{d} - rac{1}{|x_2|} \)
    • Рассмотрим случай собирающей линзы, формирующей мнимое изображение:
      Для этого предмет должен быть ближе фокуса, т.е. \( d < F \).
      \( ext{Г} = rac{y_2}{y_1} = rac{6}{18} = rac{1}{3} \).
      \( ext{Г} = rac{|x_2|}{x_1} \) (для мнимого изображения, \( x_2 \) отрицательное).
      \( rac{1}{3} = rac{|x_2|}{20} \) \( |x_2| = rac{20}{3} hickapprox 6.67 \).
      Значит, \( x_2 = -6.67 \). Но по условию \( x_2 = 35 \).
    • Вывод: Сопоставим данные с формулой тонкой линзы: \( rac{1}{F} = rac{1}{d} + rac{1}{f} \).
      \( d = 20 \), \( f = 35 \).
      \( rac{1}{F} = rac{1}{20} + rac{1}{35} = rac{7+4}{140} = rac{11}{140} \). \( F = rac{140}{11} hickapprox 12.73 \).
      Поскольку \( F \) положительное, линза собирающая.
      Увеличение \( ext{Г} = rac{y_2}{y_1} = rac{6}{18} = rac{1}{3} \).
      Увеличение также равно \( ext{Г} = rac{f}{d} = rac{35}{20} = 1.75 \) (если рассматривать модули расстояний).
      Противоречие: \( 1/3 \) и \( 1.75 \) не равны.
    • Рассмотрим случай, когда линза рассеивающая:
      Для рассеивающей линзы изображение всегда мнимое, прямое и уменьшенное. \( x_2 \) должно быть отрицательным.
    • Последняя попытка интерпретации: Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — это координаты на оптической оси, а \( y_1 \) и \( y_2 \) — высоты, то:
      Предмет: \( x_1 = 20, y_1 = 18 \)
      Изображение: \( x_2 = 35, y_2 = 6 \>
      Линза: Так как \( x_1 \) и \( x_2 \) положительны, и \( x_2 > x_1 \), это предполагает собирающую линзу, формирующую действительное изображение.
      Изображение:
      
      • Действительное: Положительная \( x_2 \) указывает на действительное изображение, сформированное собирающей линзой.
        
      • Прямое: \( y_1 \) и \( y_2 \) имеют одинаковый знак (оба положительные). Это означает, что изображение прямое.
      • Уменьшенное: \( y_2 = 6 \) меньше \( y_1 = 18 \). Следовательно, изображение уменьшенное.
      Расчеты:
      Увеличение по высоте: \( ext{Г} = rac{y_2}{y_1} = rac{6}{18} = rac{1}{3} \).
      Если изображение действительное, то \( ext{Г} = -rac{f}{d} \).
      \( rac{1}{3} = -rac{35}{20} \) - неверно.
    • Вывод: В условии задачи присутствует противоречие, либо интерпретация координат требует дополнительной информации. Однако, исходя из положительных \( x_1 \) и \( x_2 \), можно предположить, что линза собирающая. Если принять, что \( y_1 \) и \( y_2 \) относятся к прямым объектам, то изображение прямое и уменьшенное.

Ответ: Линза — собирающая. Изображение — действительное, прямое, уменьшенное. (Примечание: в условии задачи наблюдается противоречие в расчетах увеличения, что может указывать на ошибку в данных).