7.15 Найдите значение выражения: 7 cos α, если sin α = 3√5 / 7 и α ∈ (0; π/2).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставим данное значение \( \sin \alpha \):

\( \left(\frac{3\sqrt{5}}{7}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \frac{9 \cdot 5}{49} + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \frac{45}{49} + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{45}{49} = \frac{49 - 45}{49} = \frac{4}{49} \)

Из этого следует, что \( \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{49}} = \pm\frac{2}{7} \).

Так как \( \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \), то \( \alpha \) находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, \( \cos \alpha = \frac{2}{7} \).

Теперь найдём значение выражения \( 7 \cos \alpha \):

\( 7 \cdot \frac{2}{7} = 2 \)

Ответ: 2