7.12 Найдите значение выражения: 22√3 ⋅ cos²(13π/12) - 11√3.

Решение:

1. Вынесем общий множитель \( 11\sqrt{3} \): \( 11\sqrt{3} (2\cos^2(\frac{13\pi}{12}) - 1) \).
2. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 \).
3. Применим формулу: \( 11\sqrt{3} \cos(2 \cdot \frac{13\pi}{12}) = 11\sqrt{3} \cos(\frac{13\pi}{6}) \).
4. Приведём \( \frac{13\pi}{6} \) к углу в первой четверти: \( \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \).
5. Значит, \( \cos(\frac{13\pi}{6}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) \).
6. \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
7. Подставим значение обратно: \( 11\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11 \cdot \frac{3}{2} = \frac{33}{2} \).

Ответ: 33/2