7.16 Найдите значение выражения: (3 sin 62°) / (cos 31° cos 59°).

Решение:

1. Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \).
2. Представим \( \sin(62°) \) как \( \sin(2 \cdot 31°) \).
3. Тогда \( \sin(62°) = 2\sin(31°)\cos(31°) \).
4. Подставим это в числитель: \( 3 \cdot 2\sin(31°)\cos(31°) = 6\sin(31°)\cos(31°) \).
5. Выражение примет вид: \( \frac{6\sin(31°)\cos(31°)}{\cos(31°) \cos(59°)} \).
6. Сократим \( \cos(31°) \): \( \frac{6\sin(31°)}{\cos(59°)} \).
7. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos(90° - \alpha) = \sin(\alpha) \).
8. Тогда \( \cos(59°) = \cos(90° - 31°) = \sin(31°) \).
9. Подставим это в знаменатель: \( \frac{6\sin(31°)}{\sin(31°)} \).
10. Сократим \( \sin(31°) \): \( 6 \).

Ответ: 6