7. \(2^{2x}+4\cdot 7^x=5\)

1. Проверим значение \(x=0\): \(2^{2\cdot 0}+4\cdot 7^0=1+4=5\), поэтому оно является решением.

2. Функции \(2^{2x}=4^x\) и \(7^x\) строго возрастают, поэтому их сумма \(4^x+4\cdot 7^x\) также строго возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения.

Ответ: \(x=0\).