7.3. 2) Даны две взаимно перпендикулярные прямые a и b, пересекающиеся в точке O, и некоторая точка A, не принадлежащая этим прямым. Точки A₁ и A₂ симметричны точке A относительно осей a и b. Докажите, что точки A₁ и A₂ симметричны относительно центра O.

Расположим оси координат вдоль перпендикулярных прямых a и b, а точку O примем за начало координат. Пусть A имеет координаты (x; y).

1. При отражении относительно a меняется знак координаты, перпендикулярной a: A₁ имеет координаты (x; −y).
2. При отражении относительно b меняется знак координаты, перпендикулярной b: A₂ имеет координаты (−x; y).
3. Середина отрезка A₁A₂ имеет координаты ((x − x)/2; (−y + y)/2) = (0; 0), то есть совпадает с O.

Ответ: O — середина отрезка A₁A₂, поэтому точки A₁ и A₂ симметричны относительно центра O.