7.4. 2) На некоторой прямой a выбрана точка O. Точка A не принадлежит этой прямой. Точка A₁ симметрична точке A относительно центра O, а точка A₂ симметрична точке A₁ относительно оси a. Докажите, что точки A и A₂ симметричны относительно прямой, перпендикулярной прямой a и проходящей через точку O.

Пусть ось a — горизонтальная, O — начало координат, а A имеет координаты (x; y).

1. Симметрия относительно центра O меняет знаки обеих координат, поэтому A₁ = (−x; −y).
2. Отражение A₁ относительно прямой a меняет знак только координаты, перпендикулярной a. Поэтому A₂ = (−x; y).
3. Точки A = (x; y) и A₂ = (−x; y) имеют одинаковую координату вдоль оси a, а их середина лежит на прямой, перпендикулярной a и проходящей через O. Отрезок AA₂ перпендикулярен этой прямой, и она делит его пополам.

Ответ: A и A₂ симметричны относительно прямой, перпендикулярной a и проходящей через O.