7.4. Прямоугольник разрезан на равные квадраты. Для каждого из квадратов посчитали количество квадратов разрезания, имеющих с данным квадратом общую сторону. Все посчитанные числа сложили и получили сумму, равную 208. Найдите количество квадратов разрезания, если известно, что по крайней мере один из них не имеет общих точек с границами прямоугольника.

Пусть прямоугольник составлен из m квадратов по одной стороне и n по другой. Каждая пара соседних квадратов учитывается дважды — по одному разу для каждого квадрата. Число пар, имеющих общую сторону, равно (m − 1)n + (n − 1)m. Поэтому

2((m − 1)n + (n − 1)m) = 208, откуда 2mn − m − n = 104.

Преобразуем равенство: (2m − 1)(2n − 1) = 209 = 11 · 19. Поскольку оба множителя нечётные положительные числа, возможны пары множителей 1 и 209 либо 11 и 19. Первая пара дала бы размеры 1 и 105, но при таких размерах квадрата, не имеющего общих точек с границей прямоугольника, нет. Значит, размеры равны 6 и 10 квадратам.

Всего квадратов: 6 · 10 = 60.

Ответ: 60 квадратов.