7.5. Олег утверждает, что какие бы 100 попарно различных натуральных чисел ему ни дали, он может выложить их в ряд так, что среди сумм соседних чисел встречается не менее N составных. Какое наибольшее значение может принимать N?

Числа одной чётности при сложении дают чётное число. Сумма двух различных натуральных чисел одной чётности больше 2, значит, она составная.

Разобьём данные числа на нечётные и чётные и расположим числа каждой группы подряд. Если обе группы непусты, внутри групп получится (a − 1) + (b − 1) = 98 соседних пар одной чётности, где a и b — количества нечётных и чётных чисел, а a + b = 100. Все эти 98 сумм составные. Если одна группа пуста, составны все 99 соседних сумм. Значит, всегда можно гарантировать не менее 98 составных сумм.

Покажем, что гарантировать 99 нельзя. Возьмём число 1 и числа p − 1 для 99 различных нечётных простых чисел p. Это 100 различных натуральных чисел. В любом ряду число 1 будет соседствовать хотя бы с одним из чисел p − 1, и их сумма равна p — простому числу. Поэтому все 99 соседних сумм составными быть не могут.

Ответ: наибольшее значение N равно 98.