7. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК=14, DK=10, BC=21. Найдите AD.

Дано:

• \[ ABCD \text{ - вписанный четырёхугольник} \]
• \[ AB \cap CD = K \]
• \[ BK = 14 \text{ см} \]
• \[ DK = 10 \text{ см} \]
• \[ BC = 21 \text{ см} \]

Найти:

• \[ AD \text{ - ?} \text{ см} \]

Решение:

Когда две хорды (или прямые, содержащие хорды) пересекаются вне окружности, произведение отрезков секущих от точки пересечения до окружности равно.

В нашем случае, точка K является точкой пересечения прямых AB и CD вне окружности.

Для секущей KBC:

• Отрезок от K до ближайшей точки окружности - KB = 14 см.
• Отрезок от K до дальнейшей точки окружности - KC = KB + BC = 14 + 21 = 35 см.

Для секущей KAD:

• Отрезок от K до ближайшей точки окружности - KD = 10 см.
• Отрезок от K до дальнейшей точки окружности - KA = KD + DA. Нам нужно найти AD, обозначим его как x. Тогда KA = 10 + x.

По свойству секущих, проведенных из одной точки, имеем:

• \[ KB \times KC = KD \times KA \]

Подставим известные значения:

• \[ 14 \times 35 = 10 \times (10 + x) \]

Вычислим левую часть:

• \[ 14 \times 35 = 490 \]

Теперь уравнение выглядит так:

• \[ 490 = 10 \times (10 + x) \]

Разделим обе части на 10:

• \[ \frac{490}{10} = 10 + x \]
• \[ 49 = 10 + x \]

Найдем x:

• \[ x = 49 - 10 \]
• \[ x = 39 \text{ см} \]

Таким образом, AD = 39 см.

Ответ: 39