7. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что следующие пары прямых являются скрещивающимися: а) BC и DD₁; б) BB₁ и AC₁; в) AC и BD₁.

Question

Вопрос:

7. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что следующие пары прямых являются скрещивающимися: а) BC и DD₁; б) BB₁ и AC₁; в) AC и BD₁.

Accepted Answer

Зададим координаты вершин куба со стороной 1: A(0; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0), D(1; 0; 0), а верхние вершины имеют ту же пару первых координат и третью координату 1.

BC и DD₁ имеют направляющие векторы (1; 0; 0) и (0; 0; 1), поэтому не параллельны. На прямой BC всегда y = 1 и z = 0, а на DD₁ — x = 1 и y = 0, поэтому общей точки нет. Следовательно, прямые скрещиваются.
BB₁ и AC₁ имеют направляющие векторы (0; 0; 1) и (1; 1; 1), поэтому не параллельны. На BB₁ x = 0 и y = 1, тогда как на AC₁ координаты имеют вид (t; t; t); общей точки нет. Следовательно, прямые скрещиваются.
AC и BD₁ имеют направляющие векторы (1; 1; 0) и (1; −1; 1), поэтому не параллельны. Точки AC имеют вид (t; t; 0), а точки BD₁ — (s; 1 − s; s). Для их равенства третьи координаты дают s = 0, тогда как первые две координаты потребовали бы одновременно t = 0 и t = 1. Общей точки нет. Следовательно, прямые скрещиваются.

Ответ: все три указанные пары прямых скрещиваются.