7. Даны две окружности с общим центром и пересекающая их прямая. Докажите, что отрезки этой прямой, заключенные между окружностями, равны.

Краткое пояснение:

Для доказательства используем свойства окружностей с общим центром и теорему о пересечении параллельных хорд.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Нарисуем схему. Пусть две окружности имеют общий центр О. Прямая пересекает обе окружности в точках А, В, С, D, где А и D - точки на внешней окружности, В и С - на внутренней.
2. Шаг 2: Рассмотрим хорды. Отрезок AD является хордой большей окружности, а отрезок BC - хордой меньшей окружности.
3. Шаг 3: Проведем перпендикуляр из центра. Проведем перпендикуляр из центра О к прямой. Пусть точка пересечения перпендикуляра с прямой будет H.
4. Шаг 4: Применим свойство перпендикуляра к хорде. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит хорду пополам.
5. Шаг 5: Для большей окружности. Перпендикуляр OH делит хорду AD пополам, то есть AH = HD.
6. Шаг 6: Для меньшей окружности. Перпендикуляр OH делит хорду BC пополам, то есть BH = HC.
7. Шаг 7: Выделим отрезки. Мы имеем отрезки AB, BC, CD. Нам нужно доказать, что AB = CD.
8. Шаг 8: Свяжем равенства. AD = AH + HD. BC = BH + HC.
9. Шаг 9: Сделаем вывод. Так как AH = HD и BH = HC, то AD = 2 * AH и BC = 2 * BH.
10. Шаг 10: Найдем длину отрезков между окружностями. Отрезок, заключенный между окружностями, это AB и CD. AB = AH - BH. CD = HD - HC.
11. Шаг 11: Сравним отрезки. Так как AH = HD и BH = HC, то AH - BH = HD - HC. Следовательно, AB = CD.

Ответ: Доказано