7. Диагонали как признак параллелограмма. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что AO = OC = 6 см и BO = OD = 4 см. Стороны AB и BC равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм, и найдите его периметр.

По условию точка O — середина обеих диагоналей: \(AO=OC\) и \(BO=OD\). Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Так как дополнительно \(AB=BC\), то равны и все четыре стороны: ABCD — ромб.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 4 см:

\(AB=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) см.

Периметр: \(P=4\cdot 2\sqrt{13}=8\sqrt{13}\) см.

Ответ: ABCD — параллелограмм; его периметр равен \(8\sqrt{13}\) см.