7. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}\), где \(t\) — время в минутах, \(\omega=30°/мин\) — начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta=3°/мин^2\) — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\varphi\) достигнет 1200°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.

Подставим данные в закон движения: \(1200=30t+\frac{3t^2}{2}\).

Умножим уравнение на \(\frac{2}{3}\): \(t^2+20t-800=0\).

Корни: \(t=\frac{-20\pm\sqrt{20^2+4\cdot800}}{2}=\frac{-20\pm60}{2}\). Получаем \(t=20\) или \(t=-40\). Отрицательное время не подходит.

Ответ: не позже чем через 20 минут.