7*. Докажите, что если 2а – b = 5, то 8a³ – b³ = 125 + 30ab

Решение:

Нам дано, что \( 2a - b = 5 \). Нам нужно доказать, что \( 8a^3 - b^3 = 125 + 30ab \).

Рассмотрим левую часть равенства, которое нужно доказать: \( 8a^3 - b^3 \). Заметим, что \( 8a^3 = (2a)^3 \).

Таким образом, левая часть является разностью кубов: \( (2a)^3 - b^3 \).

Воспользуемся формулой разности кубов: \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \). В нашем случае \( x = 2a \) и \( y = b \).

Применим эту формулу:

\( (2a)^3 - b^3 = (2a - b)((2a)^2 + (2a)b + b^2) \)

Подставим известное значение \( 2a - b = 5 \):

\( (2a)^3 - b^3 = 5((2a)^2 + 2ab + b^2) \)

Раскроем квадрат \( (2a)^2 \):

\( (2a)^3 - b^3 = 5(4a^2 + 2ab + b^2) \)

Теперь раскроем скобки, умножив 5 на каждый член внутри:

\( (2a)^3 - b^3 = 20a^2 + 10ab + 5b^2 \)

Мы получили \( 8a^3 - b^3 = 20a^2 + 10ab + 5b^2 \). Это не похоже на то, что нам нужно доказать.

Пересмотрим подход.

Дано: \( 2a - b = 5 \). Возведём обе части этого уравнения в куб:

\( (2a - b)^3 = 5^3 \)

Воспользуемся формулой куба разности: \( (x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \). В нашем случае \( x = 2a \) и \( y = b \).

\( (2a)^3 - 3(2a)^2b + 3(2a)b^2 - b^3 = 125 \)

Раскроем степени и умножим:

\( 8a^3 - 3(4a^2)b + 6ab^2 - b^3 = 125 \)

\( 8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3 = 125 \)

Теперь попробуем преобразовать это выражение, чтобы получить нужное нам равенство \( 8a^3 - b^3 = 125 + 30ab \).

Выделим \( 8a^3 - b^3 \) из полученного уравнения:

\( 8a^3 - b^3 = 125 + 12a^2b - 6ab^2 \)

Нам нужно, чтобы правая часть стала \( 125 + 30ab \). Сравним \( 12a^2b - 6ab^2 \) с \( 30ab \).

Это всё ещё не даёт прямого совпадения. Давайте вернёмся к первому подходу и попробуем использовать \( 2a - b = 5 \) более эффективно.

Мы хотим доказать \( 8a^3 - b^3 = 125 + 30ab \).

Рассмотрим выражение \( 8a^3 - b^3 \).

Из \( 2a - b = 5 \) следует, что \( 2a = 5 + b \).

Подставим это в \( 8a^3 \):

\( 8a^3 = (2a)^3 = (5 + b)^3 \)

Используем формулу куба суммы: \( (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \).

\( (5 + b)^3 = 5^3 + 3 \cdot 5^2 \cdot b + 3 \cdot 5 \cdot b^2 + b^3 \)

\( (5 + b)^3 = 125 + 3 \cdot 25 \cdot b + 15b^2 + b^3 \)

\( (5 + b)^3 = 125 + 75b + 15b^2 + b^3 \)

Теперь подставим это обратно в \( 8a^3 - b^3 \):

\( 8a^3 - b^3 = (125 + 75b + 15b^2 + b^3) - b^3 \)

\( 8a^3 - b^3 = 125 + 75b + 15b^2 \)

Это опять не совпадает с \( 125 + 30ab \).

Попробуем последний раз, используем куб разности, но иначе.

Нам дано \( 2a - b = 5 \).

Возведём обе части в куб:

\( (2a - b)^3 = 5^3 \)

Раскроем левую часть по формуле куба разности: \( (x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y) \).

\( (2a)^3 - b^3 - 3(2a)(b)(2a - b) = 125 \)

\( 8a^3 - b^3 - 6ab(2a - b) = 125 \)

Теперь подставим известное значение \( 2a - b = 5 \):

\( 8a^3 - b^3 - 6ab(5) = 125 \)

\( 8a^3 - b^3 - 30ab = 125 \)

Перенесём \( -30ab \) в правую часть уравнения:

\( 8a^3 - b^3 = 125 + 30ab \)

Что и требовалось доказать.

Доказано.