7. Докажите, что при любом значении р уравнение x^2 + px + p - 1 = 0 имеет хотя бы один корень.

Решение:

Квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеет хотя бы один корень, если его дискриминант \( D ≥ 0 \).

В данном уравнении \( x^2 + px + (p-1) = 0 \):

\( a = 1 \)

\( b = p \)

\( c = p - 1 \)

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 · 1 · (p - 1) \]

\[ D = p^2 - 4p + 4 \]

Заметим, что полученное выражение является формулой квадрата разности:

\[ D = (p - 2)^2 \]

Поскольку квадрат любого действительного числа \( (p-2)^2 \) неотрицателен (то есть \( ≥ 0 \)), то дискриминант \( D ≥ 0 \) при любом значении \( p \).

Следовательно, уравнение \( x^2 + px + p - 1 = 0 \) имеет хотя бы один корень (один или два) при любом значении \( p \).

Ответ: Доказано.