7. Докажите, что при любом значении р уравнение x² + px + p - 3 = 0 имеет два корня.

Чтобы доказать, что квадратное уравнение имеет два корня, нам нужно показать, что его дискриминант больше нуля ($$D > 0$$).

Уравнение имеет вид $$ax^2 + bx + c = 0$$, где:

• $$a = 1$$
• $$b = p$$
• $$c = p - 3$$

Формула дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$.

Подставим значения $$a$$, $$b$$ и $$c$$ в формулу дискриминанта:

\[ D = p^2 - 4(1)(p - 3) \]

Раскроем скобки:

\[ D = p^2 - 4p + 12 \]

Теперь нам нужно доказать, что $$p^2 - 4p + 12 > 0$$ для любого значения $$p$$.

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$p^2 - 4p + 12$$. Чтобы определить знак этого трёхчлена, найдём его дискриминант (для этого трёхчлена, а не для исходного уравнения).

Дискриминант для $$p^2 - 4p + 12$$: $$D_p = (-4)^2 - 4(1)(12) = 16 - 48 = -32$$.

Так как дискриминант $$D_p$$ отрицательный ($$-32 < 0$$) и коэффициент при $$p^2$$ положительный ($$1 > 0$$), то квадратный трёхчлен $$p^2 - 4p + 12$$ всегда положителен для любого значения $$p$$.

Следовательно, $$D = p^2 - 4p + 12 > 0$$ для любого значения $$p$$.

Так как дискриминант исходного квадратного уравнения $$x^2 + px + p - 3 = 0$$ всегда больше нуля, то это уравнение имеет два различных действительных корня при любом значении $$p$$.

Что и требовалось доказать.