7. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты A(0; 1), B(1; −4), C(5; 2).

Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

\(AB=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{26}\).

\(AC=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{26}\).

Так как \(AB=AC\), треугольник ABC равнобедренный.

Площадь найдём по координатам векторов \(\overrightarrow{AB}=(1;-5)\) и \(\overrightarrow{AC}=(5;1)\):

\(S=\frac{1}{2}|1\cdot1-(-5)\cdot5|=\frac{26}{2}=13\).

Ответ: \(AB=AC\), поэтому треугольник равнобедренный; его площадь равна 13.