7. Докажите, что выражение x² - 4x + 5 принимает положительные значения при всех значениях х.

7. Докажем, что выражение x² - 4x + 5 принимает положительные значения:

Рассмотрим квадратный трехчлен f(x) = x² - 4x + 5.

Способ 1: Выделение полного квадрата

1. Сгруппируем первые два члена и выделим полный квадрат:

   x² - 4x + 5 = (x² - 4x + 4) - 4 + 5

   (x² - 4x + 4) — это полный квадрат разности (x - 2)².

2. Заменим группу на квадрат:

   (x - 2)² - 4 + 5 = (x - 2)² + 1

3. Проанализируем полученное выражение:

   • Квадрат любого действительного числа (x - 2)² неотрицателен, то есть (x - 2)² ≥ 0.
   • Прибавив к неотрицательному числу 1, мы получим число, которое всегда будет больше нуля: (x - 2)² + 1 ≥ 0 + 1 = 1.

Способ 2: Через дискриминант

1. Рассмотрим квадратное уравнение x² - 4x + 5 = 0.

   Найдем дискриминант (D) по формуле D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = 5.

   D = (-4)² - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 5 = 16 - 20 = -4

2. Анализ дискриминанта:

   • Дискриминант D = -4, что меньше нуля (D < 0).
   • Это означает, что квадратное уравнение x² - 4x + 5 = 0 не имеет действительных корней.
   • График функции y = x² - 4x + 5 (парабола) не пересекает ось x.

3. Определение направления ветвей параболы:

   • Коэффициент при x² (a) равен 1, что больше нуля (a > 0).
   • Следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Вывод:

   • Поскольку парабола с ветвями вверх не имеет корней (не пересекает ось x), она целиком лежит выше оси x.
   • Это означает, что значения функции y = x² - 4x + 5 всегда положительны для любых действительных значений x.

Вывод: Оба способа показывают, что выражение x² - 4x + 5 всегда принимает положительные значения, так как оно всегда больше или равно 1.