№7. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 10.

Краткое пояснение: Для нахождения расстояния между точками касания А и В, мы рассмотрим треугольник AOB. Так как MA и MB - касательные, то OA перпендикулярно MA и OB перпендикулярно MB, и OA = OB = радиус окружности. Треугольник AOB - равнобедренный. Расстояние AB можно найти, используя теорему косинусов или разбив треугольник на два прямоугольных.

Пошаговое решение:

• Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы). ∠AOB = 120°.
• Проведем отрезок OM. Так как треугольник AOB равнобедренный, OM является биссектрисой угла ∠AOB и высотой к основанию AB.
• Следовательно, ∠AOM = ∠BOM = 120° / 2 = 60°.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM. Гипотенуза MO = 10. Угол ∠AOM = 60°.
• В прямоугольном треугольнике, катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, угол ∠OAM = 90° - 60° = 30°.
• Тогда радиус OA = MO / 2 = 10 / 2 = 5.
• Теперь найдем катет AM, противолежащий углу 60°: AM = OA * \(\sqrt{3}\) = 5 * \(\sqrt{3}\).
• Расстояние между точками касания A и B - это длина хорды AB.
• В треугольнике AOB, по теореме косинусов:
• AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * cos(∠AOB)
• AB² = 5² + 5² - 2 * 5 * 5 * cos(120°)
• AB² = 25 + 25 - 50 * (-1/2)
• AB² = 50 + 25 = 75
• AB = \(\sqrt{75}\) = \(\sqrt{25 \cdot 3}\) = 5\(\sqrt{3}\).
• Альтернативный способ: В прямоугольном треугольнике AOM, мы нашли AM = 5\(\sqrt{3}\). Так как OM делит AB пополам, то AB = 2 * AM.
• AB = 2 * 5\(\sqrt{3}\) = 10\(\sqrt{3}\).
• Перепроверим расчеты.
• В прямоугольном треугольнике AOM: OA = R, MO = 10, ∠AOM = 60°, ∠OAM = 30°.
• Sin(60°) = AM / MO => AM = MO * Sin(60°) = 10 * (\(\sqrt{3}\)/2) = 5\(\sqrt{3}\).
• Cos(60°) = OA / MO => OA = MO * Cos(60°) = 10 * (1/2) = 5.
• Так как OM является высотой, то AB = 2 * AM.
• AB = 2 * 5\(\sqrt{3}\) = 10\(\sqrt{3}\).

Ответ: Расстояние между точками касания А и В равно 10\(\sqrt{3}\).