7. Какие из данных высказываний не являются верными: а) если а ∈ N и a + b ∈ N, то b ∈ N; б) если а ∈ N и ab ∈ N, то b ∈ N; в) если а ∈ N и a – b ∈ N, то b ∈ N; г) если a – b ∈ N и b ∈ N, то а ∈ N?

Question

Вопрос:

Фото задания

7. Какие из данных высказываний не являются верными: а) если а ∈ N и a + b ∈ N, то b ∈ N; б) если а ∈ N и ab ∈ N, то b ∈ N; в) если а ∈ N и a – b ∈ N, то b ∈ N; г) если a – b ∈ N и b ∈ N, то а ∈ N?

Accepted Answer

Решение:

Проверим каждое высказывание, подставляя значения из множества натуральных чисел \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ... \}\).

a) если \( a \in \mathbb{N} \) и \( a + b \in \mathbb{N} \), то \( b \in \mathbb{N} \)?
Возьмем \( a = 1 \), \( b = -1 \). Тогда \( a \in \mathbb{N} \), \( a+b = 1+(-1)=0 \), что не принадлежит \( \mathbb{N} \).
Возьмем \( a = 2 \), \( b = 0.5 \). Тогда \( a \in \mathbb{N} \), \( a+b = 2.5 \), что не принадлежит \( \mathbb{N} \).
Это высказывание неверно.
б) если \( a \in \mathbb{N} \) и \( ab \in \mathbb{N} \), то \( b \in \mathbb{N} \)?
Возьмем \( a = 2 \), \( b = 0.5 \). Тогда \( a \in \mathbb{N} \), \( ab = 2 \times 0.5 = 1 \), что принадлежит \( \mathbb{N} \), но \( b = 0.5 \) не принадлежит \( \mathbb{N} \).
Это высказывание неверно.
в) если \( a \in \mathbb{N} \) и \( a – b \in \mathbb{N} \), то \( b \in \mathbb{N} \)?
Возьмем \( a = 1 \), \( b = 1 \). Тогда \( a \in \mathbb{N} \), \( a-b = 1-1=0 \), что не принадлежит \( \mathbb{N} \).
Возьмем \( a = 5 \), \( b = 2 \). Тогда \( a \in \mathbb{N} \), \( a-b = 5-2 = 3 \), что принадлежит \( \mathbb{N} \), и \( b = 2 \) принадлежит \( \mathbb{N} \).
Однако, если \( a = 2 \) и \( b = 3 \), то \( a \in \mathbb{N} \) но \( a-b = -1 \) не принадлежит \( \mathbb{N} \).
Если \( a=3 \) и \( a-b=1 \) то \( b=2 \) и \( b \in \mathbb{N} \).
Данное высказывание неверно, т.к. \( a-b \) может быть 0 или отрицательным, тогда \( b \) не обязательно натуральное.
г) если \( a - b \in \mathbb{N} \) и \( b \in \mathbb{N} \), то \( a \in \mathbb{N} \)?
Так как \( a - b \in \mathbb{N} \), то \( a - b \ge 1 \), значит \( a = (a - b) + b \). Так как \( a - b \) — натуральное число и \( b \) — натуральное число, их сумма \( a \) будет натуральным числом.
Это высказывание верно.

Ответ: Неверными являются высказывания а), б) и в).