7. Какое из приведённых ниже неравенств является верным при любых значениях а и b, удовлетворяющих условию a < b < 0?

Решение:

Условие \( a < b < 0 \) означает, что \( a \) и \( b \) — отрицательные числа, и \( a \) меньше \( b \).

Проверим каждое неравенство:

1. \( 6a < b \)

Возьмём \( a = -2 \) и \( b = -1 \). Тогда \( 6 \cdot (-2) = -12 \). Неравенство \( -12 < -1 \) верно. Но если взять \( a = -1 \) и \( b = -0.5 \), то \( 6 \cdot (-1) = -6 \). Неравенство \( -6 < -0.5 \) верно. Теперь возьмём \( a = -1 \) и \( b = -0.1 \). Тогда \( 6\cdot(-1) = -6 \). Неравенство \( -6 < -0.1 \) верно. Но если \(a = -1 \) и \(b = -0.9 \), то \(6 \times -1 = -6 \). Неравенство \( -6 < -0.9 \) верно. Возьмём \(a = -0.2 \) и \(b = -0.1 \). Тогда \(6 \times -0.2 = -1.2 \). Неравенство \( -1.2 < -0.1 \) верно. Проверим другие варианты.

2. \( a - 5 > b - 5 \)

Прибавим 5 к обеим частям: \( a > b \). Это противоречит условию \( a < b \).

3. \( 8 - a < 8 - b \)

Вычтем 8 из обеих частей: \( -a < -b \). Умножим на -1 и сменим знак неравенства: \( a > b \). Это противоречит условию \( a < b \).

4. \( 3 + a > 1 + b \)

Вычтем 1 из обеих частей: \( 2 + a > b \). Это неравенство не всегда верно. Например, если \( a = -3 \) и \( b = -1 \), то \( 2 + (-3) = -1 \), и \( -1 > -1 \) — ложно.

Вернёмся к первому варианту: \( 6a < b \). Если \( a < b < 0 \), то \( a \) и \( b \) отрицательные. Если \( a < b \), то \( 6a \) будет ещё меньше, чем \( a \) (так как 6 > 0), и, следовательно, \( 6a \) будет меньше \( b \).

Ответ: 1) 6a < b