7. Медians треугольника ABC пересекаются в точке M. На прямой AC взяли точку N так, что точка C делит отрезок AN в отношении AC:CN = 2:3. В каком отношении прямая MN делит сторону BC треугольника ABC?

Пусть \(AC=2t\), \(CN=3t\). Тогда \(AN=5t\), поэтому относительно направленного отрезка AC координата точки N равна \(\frac52\).

Точка M — центр тяжести треугольника, поэтому её аффинные координаты:

\(M=\frac13A+\frac13B+\frac13C\).

Точка пересечения прямой MN со стороной BC имеет координаты:

\(D=\frac3{11}B+\frac8{11}C\).

Значит, доли стороны BC равны \(BD=\frac8{11}BC\) и \(DC=\frac3{11}BC\). Следовательно,

\(BD:DC=8:3\).

Ответ: 8 : 3.