7. ΔMPR — правильный. Найдите x. RT ⟂ MP, RT = 8, PR = x.

Пусть сторона правильного треугольника равна \(x\). Высота делит основание пополам, поэтому \(MT=TP=\frac{x}{2}\).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике RTP:

\(x^2=8^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2\). Тогда \(\frac{3x^2}{4}=64\), откуда \(x^2=\frac{256}{3}\) и \(x=\frac{16\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(\frac{16\sqrt{3}}{3}\).