7. На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 45°. Длина меньшей дуги АВ равна 91. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \), где \( \alpha \) — центральный угол, \( R \) — радиус окружности.

Мы знаем, что длина меньшей дуги АВ равна 91, и соответствующий ей центральный угол \( \angle AOB = 45^{\circ} \).

Используя формулу для длины меньшей дуги, можем найти радиус окружности, но для данной задачи это не потребуется.

Длина большей дуги АВ соответствует центральному углу, равному \( 360^{\circ} - 45^{\circ} = 315^{\circ} \).

Можно заметить, что отношение длины дуги к центральному углу постоянно для данной окружности:

\[ \frac{L_{меньшей\ дуги}}{L_{большей\ дуги}} = \frac{\alpha_{меньшей}}{ \alpha_{большей}} \]

\[ \frac{91}{L_{большей\ дуги}} = \frac{45^{\circ}}{315^{\circ}} \]

\[ \frac{91}{L_{большей\ дуги}} = \frac{1}{7} \]

Отсюда, \( L_{большей\ дуги} = 91 \cdot 7 \).

\[ L_{большей\ дуги} = 637 \]

Ответ: 637