8. На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 40°. Длина меньшей дуги АВ равна 50. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \), где \( \alpha \) — центральный угол, \( R \) — радиус окружности.

Мы знаем, что длина меньшей дуги АВ равна 50, и соответствующий ей центральный угол \( \angle AOB = 40^{\circ} \).

Длина большей дуги АВ соответствует центральному углу, равному \( 360^{\circ} - 40^{\circ} = 320^{\circ} \).

Отношение длины дуги к центральному углу постоянно для данной окружности:

\[ \frac{L_{меньшей\ дуги}}{L_{большей\ дуги}} = \frac{\alpha_{меньшей}}{ \alpha_{большей}} \]

\[ \frac{50}{L_{большей\ дуги}} = \frac{40^{\circ}}{320^{\circ}} \]

\[ \frac{50}{L_{большей\ дуги}} = \frac{1}{8} \]

Отсюда, \( L_{большей\ дуги} = 50 \cdot 8 \).

\[ L_{большей\ дуги} = 400 \]

Ответ: 400